Weighted Residual Method
Weighted Residual Methods
微分方程的解要求处处满足物理方程和边界条件，但实际上这是一个非常严苛的要求，或者说解的强形式。实际上，找到一个满足上述要求的微分方程的解并不是一件容易的事情，因此，与其找到一个强解，不如找到一个满足如下条件的弱解：
\[
\int_{V} \left[ \sigma(\tilde{u}_{1},\tilde{u}_{2},\tilde{u}_{3})_{ij,j}+f_{i} \right] \mathrm{d}V =0
\]
\(\tilde{u}_{k}\) 为近似解。将积分内部的项称为残差（residual），此时放松了解的条件：
\[
R_{i} \neq 0 \quad \int_{V}R_{i} \mathrm{d}V=0
\]
如果希望进一步对残差有所限制，则引入权函数 \(W\) ，要求
\[
\int_{V}WR \mathrm{d} V =0
\]
加权残差法有如下方法：
Collocation 要求网格上每一个点 \(R =0\) （实际上权函数为狄拉克函数）
Subdomain \(\int_{V}R\mathrm{d}V =0\)
Least Squares \(\int_{V}R^{2} \mathrm{d}V=0\)
Galerkin \(\int_{V}N_{i}R \mathrm{d}V =0\)
考虑一个微分方程：
\[
\frac{{\rm{d}} ^{2}u }{{\rm {d}} x^{2} } +u +x=0
\]
边界条件：
\[
u(0) = 0\quad u(1) =0
\]
对应准确解：
\[
u = \frac{\sin x}{\sin 1}-x
\]
取一个满足边界条件的近似解：
\[
\bar{u} =x(1-x)(a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\dots)
\]
\[
\bar{u} = a_{1}x(1-x)
\]
将近似解带入微分方程中可得残差
\[
R_{1} =x+a_{1}(-2+x-x^{2})
\]
\[
\bar{u}=x(1-x)(a_{1}+a_{2}x)
\]
对应残差：
\[
R_{2} = x+a_{1}(-2+x-x^{2})+a_{2}(2-6x+x^{2}-x^{3})
\]
Collocation 方法要求选定节点 \(R(x_{i}) =0\) ，对于一阶近似取中点 \(x= 1/2\) ，可得 \(a_{1} = \frac{2}{7}\) ；对于二阶近似，取三等分点 \(x=1 /3 \quad x=2 /3\) 可得 \(a_{1} =0.1948,a_{2}=0.1731\)
对于 Galerkin 方法，先考虑一阶近似，由于近似解本身是给定基函数的线性组合 \(\bar{u}=\sum N_{i}a_{i}\) ，所以取
\[
W_{1} = N_{1} =x(1-x)
\]
积分得
\[
\int_{0}^{1} W_{1} R\mathrm{d}x=\int^{1}_{0}x(1-x)(x+a_{1}(-2+x-x^{2})) = 0 \implies a_{1} = \frac{5}{18}
\]
再考虑二阶近似，取第二个权函数：
\[
W_{2} = x^{2}(1-x)
\]
分别积分可得近似解：
\[
\bar{u} = x(1-x )(0.1924+0.1707x)
\]
Galerkin's Method
用 Galerkin 方法求出刚度矩阵和待定方程
Steps in Applying Galerkin’s Method
定出控制偏微分方程（PDE） 和边界条件 (BCs)
定出残差方程
计算分步积分
将插值函数带入残差方程
计算单元积分获得代数有限元形式方程
考虑一根杆（只受横向作用 \(f_{i},f_{j}\) ），其对应的微分方程满足：
\[
\frac{{\rm{d}} }{{\rm {d}} x }\left( A(x)E(x)\frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}}x } \right) =0
\]
根据 Galekin 法，残差积分满足：
\[
\int_{0}^{L}\frac{{\rm{d}} }{{\rm {d}} x }\left( A(x)E(x)\frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}}x } \right) N_{i}\mathrm{d}x = 0
\]
分步积分可得：
\[
\left( N_{i}AE \frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}} x } \right)\Bigg|^{L}_{0}-\int_{0}^{L} A(x)E(x)\frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}} x } \frac{{\rm{d}} N_{i} }{{\rm {d}} x } \mathrm{d}x =0
\]
分步积分的结果引入了边界条件。
杆单元中，\(\frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}} x }\) 可以写作：
\[
\frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}} x }=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{L} & \frac{1}{L}
\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}
u_{i} \\
u_{j}
\end{Bmatrix}
\]
带入分步积分可得（考虑横截面积和杨氏模量为常数）：
\[
AE\int_{0}^{L}\frac{{\rm{d}} N_{i} }{{\rm {d}} x } \begin{bmatrix}
-\frac{1}{L} & \frac{1}{L}
\end{bmatrix}\mathrm{d}x \begin{Bmatrix}
u_{i} \\
u_{j}
\end{Bmatrix}=\left( N_{i}AE \frac{{\rm{d}} u }{{\rm {d}} x } \right)\Bigg|^{L}_{0}
\]
因为在杆问题中，只有两个形函数，所以上面给出两个等式，取第一个形函数 \(N_{1}\) 给出
\[
f_{i} = \frac{AE}{L}(u_{i}-u_{j})
\]
取第二个形函数，可得
\[
f_{j} = \frac{AE}{L}(u_{j}-u_{i})
\]
装配可得：
\[
\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}
u_{i} \\
u_{j}
\end{Bmatrix} = \left\{ \begin{align}
f_{i} \\
f_{j}
\end{align} \right\}
\]
与直接法和能量法得到的方程一样。
控制方程：
\[
EI\frac{{\rm{d}} v^{4} }{{\rm {d}} x^{4} } +w =0
\]
伽辽金方法给出：
\[
\int_{0}^{L}\left( EI \frac{{\rm{d}} ^{4}v }{{\rm {d}} x^{4} }+w \right)N_{i}\mathrm{d}x =0\quad (i=1,2,3,4)
\]
对第一项积分做两次分步积分
\[
\int_{0}^{L}\left( EI \frac{{\rm{d}} ^{4}v }{{\rm {d}} x^{4} } \right)N_{i}\mathrm{dx=} \int_{0}^{L}EI \frac{{\rm{d}} ^{2}v }{{\rm {d}} x^{2} } \frac{{\rm{d}} ^{2}N_{i} }{{\rm {d}} x^{2} } \mathrm{d}x+EI \left( N_{i}\frac{{\rm{d}} ^{3}v }{{\rm {d}} x^{3} } -\frac{{\rm{d}} N_{i} }{{\rm {d}} x } \frac{{\rm{d}} ^{2}v }{{\rm {d}} x^{2} } \right)\Bigg|^{L}_{0}
\]
对位移插值函数做微分
\[
\frac{{\rm{d}} ^{2} v}{{\rm {d}} x^{2} } = \begin{bmatrix}
\frac{12x-6L}{L^{3}} & \frac{6xL-4L^{2}}{L^{3}} & \frac{-12x+6L}{L^{3}} & \frac{6xL-2L^{2}}{L^{3}}
\end{bmatrix}\left\{ d \right\} =[B]\left\{ d \right\}
\]
同时有：
\[
M(x) = EI\frac{{\rm{d}} ^{2}v }{{\rm {d}} x^{2} }\quad F(x) = EI \frac{{\rm{d}} ^{3}v }{{\rm {d}} x^{3} }
\]
带入可得
\[
\begin{align}
&\int_{0}^{L}\left( EI \frac{{\rm{d}} ^{4}v }{{\rm {d}} x^{4} }+w \right)N_{i}\mathrm{d}x \\
=&\int_{0}^{L}\frac{{\rm{d}} N_{i}^{2} }{{\rm {d}} x^{2} }EI [B]\mathrm{d}x\left\{ d \right\} +\int_{0}^{L}N_{i}w\mathrm{d}x+\left[ N_{i}F(x)-\frac{{\rm{d}} N_{i} }{{\rm {d}} x }M(x) \right]\Bigg|^{L}_{0} =0
\end{align}
\]
将形函数带入就可以导出梁元素满足的方程：
\[
[K]\left\{ d \right\} = \begin{bmatrix}
F_{i} & M_{i} & F_{j} & M_{j}
\end{bmatrix} ^{T} -\int_{0}^{L}[N]^{T}w \mathrm{d}x
\]
其中刚度矩阵由如下式子导出：
\[
[K] = \int_{0}^{L}[B]^{T}EI[B]\mathrm{d}x = \frac{EI}{L^{3}}\begin{bmatrix}
12 & 6L & -12 & 6L \\
6L & 4L^{2} & -6L & 2L^{2} \\
-12 & -6L & 12 & -6L \\
6L & 2L^{2} & -6L & 4L^{2}
\end{bmatrix}
\]
