连续系统振动 II

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解的定性性质

我们来讨论振动问题的一些解的定性性质。

以杆为例，第一个定性性质是频率是离散无重复的即 \(0\le \omega_{1 }\le \omega_{2}\leq\dots\)

第二个定性性质是节点的交错性，他分为三种：

1. 杆的两个相邻位移振型节点 \(\varphi_{i},\varphi_{i+1}\) 相互交错
2. 杆的两个相邻转角 \(\theta_{i},\theta_{i+1}\) 节点相互交错
3. 同阶转角 \(\theta_{i}\) 与位移 \(\varphi_{i}\) 相互交错

所谓交错性可以按照下图理解（不考虑两条曲线相交的节点）：可以看到 \(\mathrm{i} \,=2\) 的节点（蓝色）在 \(\mathrm{i} \, = 3\) 节点 (红色) 之间，也就是说，相邻振型（转角）的节点必须是交错排序（左边和右边节点必须是另一条曲线的节点）

第三个定性性质是所有振型只有两个独立振型，所谓独立振型是指频率与振型相互独立，这个比较难理解，做一个简单的证明

取 \((\omega_{i},\varphi_{i}),(\omega_{j},\varphi_{j})\)，带入杆的振动方程中得

\[ \begin{align} \frac{d }{d x } \left[ E(x)A(x) \frac{d \varphi_{i}(x) }{d x } \right]= \omega^{2}_{i} \rho(x)A(x)\varphi_{i}(x) \tag{1} \\ \frac{d }{d x } \left[ E(x)A(x) \frac{d \varphi_{j}(x) }{d x } \right]= \omega^{2}_{j} \rho(x)A(x)\varphi_{j}(x)\tag{2} \end{align} \]

\((2)\) 式乘上 \(\omega_{i}^{2} \varphi_{i}(x)\) 后与 \((1)\) 相减得

\[ \frac{d }{d x } \left[ E(x)A(x) \frac{d \varphi_{i}(x) }{d x } \right]-\frac{d }{d x } \left[ E(x)A(x) \frac{d \varphi_{j}(x) }{d x } \right]\varphi_{i}(x) \omega_{i}^{2} = 0 \]

因为 \(\omega_{i} ,\omega_{j},\varphi_{i}(x),\varphi_{j}(x)\) 是已知的，所以我们总是可以用这四个已知量表示 \(E(x)A(x)\) ，同样的，我们也可以表示出 \(\rho(x)A(x)\) 。而对于剩下的频率与振型函数，总要满足上述关系时，也就是说剩下的频率与振型函数总是与上述四个已知量有关。这只是一个非常简单的结论说明，暂时不能用于实际中。

我们给出梁的振动解的定性问题

第一个定性性质：频率是离散无重复。

第二个定性性质：节点交错性

1. 梁的相邻两个 \(\varphi(x) \text{ or }\theta(x)\text{ or }M(x)\text{ or }Q(x)\) 的节点是相互交错的
2. 同阶 \(\varphi_{i},\theta_{i} (\theta_{i},M_{i})(Q_{i},\theta_{i})\) 相互交错。

更多内容参见 结构力学中的定性理论

弹性体振动的近似解问题

Note

黄老师说这章过一下就行，考试应该考简答题（？）

这章内容主要来源季文美的《机械振动》

集中质量法

我们可以将惯性相对地大而弹性极微弱地部件看作集中质量（刚体或质点），而把那些惯性相对的小而弹性极为显著的部件看作无质量的弹簧。对于均匀或近乎均匀的弹性体，我们保留或大致保留弹性体原有的弹性特性，而将质量集中到弹性体的若干个截面上。但是如何选取各个接种点以及如何配置各点的质量，才能使得所得结果比较接近于实际情况，这在很大程度上要靠经验或实验的启示，缺乏一般的理论指导，优点是做法简单，所得质量矩阵为对角阵，计算量小

比如说如上变截面梁，我们先用若干个均匀梁端所组成的阶梯梁来替代变截面梁，然后保持各个梁端的弹性特性，将质量分别集中到梁的两端（取平分）。接下去就可以按多自由度系统的问题来处理了

比如说均匀简支梁，取分成四段的模型，而前三阶固有频率的近似值为

\[ p_{1} = 9.860\alpha \quad p_{2}=39.2 \alpha \quad p_{3}=83.24\alpha \qquad \alpha \equiv \sqrt{ \frac{EI}{\rho l^{4}} } \]

而对应的准确值

\[ p_{1}= 9.867 \alpha \quad p_{2} = 39.48 \alpha \quad p_{3} = 88.83 \alpha \]

要求更高阶的固有频率就得取更多分段的模型

对于固支端、铰之或滑动支座端的情形，用集中质量法得到的固有频率值的误差于 \(\frac{1}{N^{4}}\) 成正比， \(N\) 为分段数，对于具有自由端的梁，误差则与 \(\frac{1}{N^{2}}\) 成正比。

假设振型法

在介绍假设振型法之前，先引入广义坐标近似法

广义坐标法将系统的惯性与弹性特性转化到一些振型上去，振型本身都是物理坐标的确定函数，在找出这些振型的运动规律以后，再用它们确定系统物理坐标的运动。主振型叠加法就是一种广义坐标法，对于弯曲振动，我们将其视作是一系列主振动叠加而成

\[ y(x,t) = \sum_{i} q_{i}(t)\sin \frac{ \text{i}\pi x}{l} \]

实际上，我们所考察的频率范围是有限的，我们只需要取级数的有限项和就能准确地反映实际情况。各种广义坐标法近似法就是在这一基础上发展而来的。

在主振型叠加法中，我们采用的是系统的振型函数，但是我们不能总是找到这些振型函数的解析表达式，于是我们可考虑采用一些更适用的函数，这些函数不一定满足系统的运动微分方程，但是必须具备方程中的各阶导数，并满足适当的边界条件。做如下定义：

• 比较函数 ：满足边界条件的函数
• 容许函数 ： 满足几何边界条件

于是一维弹性体振动的解可近似表示为有限项的线性和

\[ y(x,t)=\sum^{n}_{i=1} \phi_{i}(x) q_{i}(t) \]

\(\phi_{i}(x)\) 是这一边值问题的比较函数或容许函数，\(q_{i}(t)\) 为相应的广义坐标。\(\phi_{i}(x)\) 函数之间不一定具有正交性，所以广义坐标运动微分方程不再是相互独立，广义质量矩阵与广义刚度矩阵一般不是对角阵，而只是对称阵。

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假设模态法就是一种广义坐标的近似法，他用有限个假设模态振动的线性和来近似地描述弹性体的振动。

以梁的振动为例，因为梁的位移可表示为

\[ y(x,t) = \sum_{i=1}^{n} \phi_{i}(x)q_{i}(t) \]

\(\phi_{i}(x)\) 为假设模态函数，一般是指定边值问题的容许函数。

动能:

\[ \begin{align} T &= \frac{1}{2} \int_{0}^{l} \rho(x)\left[ \frac{\partial y}{\partial t}(x,t) \right]^{2} \, {\rm d}x \\ &=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} \sum_{j}^{} q_{i}(t)q_{j}(t)\int_{0}^{l} \rho(x)\phi_{i}(x)\phi_{j}(x) \, {\rm d} x \end{align} \]

写成矩阵形式为

\[ T = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^{T} \mathbf{M}\dot{\mathbf{q}} \]

同样的势能也可以表示为

\[ U = \frac{1}{2} \sum_{i}^{} \sum_{i}^{} q_{i}(t)q_{j}(t) \int_{0}^{l} E(x)I(x) \phi_{i}''(x)\phi_{j}''(x)\, {\rm d} \]

矩阵形式

\[ U = \frac{1}{2} \mathbf{q}^{T }\mathbf{K}\mathbf{q} \]

其中 \(\mathbf{q}\) 为广义位移列阵 \(\dot{\mathbf{q}}\) 为广义速度列阵 \(\mathbf{M}\) 为广义质量矩阵 \(\mathbf{K}\) 为广义刚度矩阵，与之前不同，此时广义质量矩阵与广义刚度矩阵不为对角阵。

如果只考虑自由振动，Lagrange 方程给出

\[ \frac{d }{d t } \left( \frac{\partial T }{\partial \dot{q} _{i}} \right) - \frac{\partial T }{\partial q_{i} } +\frac{\partial U }{\partial q_{i} } =0 \]

带入可得

\[ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{K} \mathbf{q} = 0 \]

同样设定主振型振动：

\[ \mathbf{q} = \mathbf{a} \sin (\omega t) \]

代入得

\[ [\mathbf{K}-\lambda \mathbf{M}] \mathbf{a} = 0 \quad\lambda =\omega^{2} \]

于是这个问题又归结于一个特征值的问题，不过此时求出的固有频率 \(\omega\) 是对原有连续系统的近似值。同样的，我们也可以证明正交关系：

\[ \mathbf{a}_{j}^{T} \mathbf{M} a_{i} = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ M_{i} & i=j \end{cases}\qquad\mathbf{a}_{j}^{T} \mathbf{K} a_{i} = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ K_{i} & i=j \end{cases} \]

相对于原有的振型函数 \(X_{i}(x) = \sum_{j=1}^{n} a_{ji}\phi_{i}(x) = \mathbf{a}^{T}_{i} \Phi = \Phi^{T}a_{i}\) 由于质量矩阵满足

\[ \mathbf{M} = \int_{0}^{l} \rho(x) \Phi \Phi^{T} \, {\rm d} x \]

所以

\[ \begin{align} &\int_{0}^{l} \rho(x)X_{i}(x)X_{j}(x) \, {\rm d} x \\ &= \int_{0}^{l} \rho(x)\mathbf{a}_{i}^{T}\Phi \Phi^{T}\mathbf{a}_{i} \, {\rm d} x \\ &=\mathbf{a}_{i}^{T} \int_{0}^{l} \rho(x)\Phi \Phi^{T} \, {\rm d} x \ \mathbf{a}_{i} \\ &=\mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{M } \mathbf{a}_{i} = \begin{cases} 0 &i\neq j \\ M_{i} &i=j \end{cases} \end{align} \]

模态综合法

这边做一个简要赘述：对于一个复杂结构的振动分析，我们可以将其转化成若干个较为简单的子结构，然后找到它们的假设模态，在对接面上保持位移协调以及内力协调条件，把子结构重新常被成总体结构，这样，我们就可以利用各个子结构的假设模态来综合总体结构的振动模态。

有限元法

有限元法把一个复杂结构（连续系统）抽象化为有限个元素在有限个节点处对接而成的组合结构，每个元素都是一个弹性体。元素的位移用结点位移插值函数表示，插值函数实质上就是一种假设模态。我们对每个元素取假设模态，由于元素数目通常取得非常大，所以假设模态取得非常简单，一般是多项式函数形式。但此时我们并不是取模态作为广义坐标，而是取结点位移作为系统的广义坐标，这时，各个元素的分布质量将按照一定的格式集中到各个结点上去。

以梁的弯曲振动为例

下图是长度为 \(l\) 的均匀梁段在常值结点力作用下的静挠曲线（暂时没考虑振动）

由于分布载荷为零，所以挠曲线满足

\[ \frac{d ^{4}y }{d x^{4} } = 0 \]

取解：

\[ y(x) = a_{0} +a_{1}x+a_{2}x^{2} +a_{3} x^{3} \equiv X(x) A \tag{1} \]

我们取梁两端的挠度和转角作为广义坐标，即

\[ \mathbf{ y} = \begin{Bmatrix} y(0) \\ y'(0 ) \\ y(l) \\ y'(l) \end{Bmatrix} \]

可以得到系数列阵满足

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{l^{2}} & -\frac{2}{l} & \frac{3}{l^{2}} & -\frac{1}{l} \\ \frac{2}{l^{3}} & \frac{1}{l^{2}} & -\frac{2}{l^{3}} & \frac{1}{l^{2}} \end{bmatrix}\mathbf{y} \equiv C^{-1}\mathbf{y} \]

所以 \((1)\) 又可以写成

\[ y(x) =X(x) A = X(x)C^{-1}\mathbf{y} \equiv \Phi(x) \mathbf{y} \]

所以 \(\Phi(x)\) 也就是梁元素在常值结点力作用下，梁挠曲线的静模态函数，满足

\[ \Phi(x)=\left\{\begin{align} &\phi_{1}(x) = 1- 3\left( \frac{x}{l} \right) ^{2}+2\left( \frac{x}{l} \right) ^{3} \\ & \frac{\phi_{2}(x)}{l} = \frac{x}{l}\left( 1-\frac{x}{l} \right)^{2} \\ &\phi_{3}(x) = 3 \left( \frac{x}{l} \right) ^{2} -2 \left( \frac{x}{l} \right) ^{3} \\ & \frac{\phi_{4}(x)}{l} = \left( \frac{x}{l} \right) ^{2}\left( \frac{x}{l} -1\right) \end{align}\right.\tag{2} \]

现在考虑梁的弯曲振动，如果我们仍用 \(\mathbf{y}\) 描述梁的广义坐标，那么 \(\mathbf{y}\) 显然是时间的函数，那么挠曲线就将不仅是空间上的函数，而且是时间上的函数，我们仍能取相同形式

\[ y(x,t) = \Phi(x)\mathbf{y}(t) \]

\(\Phi(x)\) 仍满足式子 \((2)\) ，同时 \(\Phi(x)\) 满足

\[ \begin{align} &\frac{\partial^{2}y }{\partial x^{2} } (x,t)= \Phi''(x)\mathbf{y} \\ & \frac{\partial y }{\partial t }(x,t) = \Phi (x) \dot{\mathbf{y}} \end{align} \]

所以梁的动能满足

\[ T= \frac{1}{2} \dot{\mathbf{y}}^{T}\mathbf{M} \dot{\mathbf{y}} \qquad \mathbf{M} = \int_{0}^{l} \rho \Phi^{T}\Phi \, {\rm d} x \]

梁的势能满足

\[ U = \frac{1}{2} \mathbf{y}^{T} \mathbf{K}\mathbf{y} \qquad \mathbf{K} = \int_{0}^{l} EI \Phi''^{T}\Phi'' \, {\rm d}x \]

根据式 \((2)\) 可以推导出质量矩阵和刚度矩阵的表达式

在梁弯曲的简化理论中，我们只需要考虑剪力与弯矩，在梁元素两端又四个对接力 \(f_{i}(i=1,2,,3,4)\) ，假定梁上作用分布载荷 \(f(x,t)\) ，我们来求对应的广义力，虚位移

\[ \delta y(x,t) = \sum_{i}^{} \phi_{i}(x)\delta y_{i} \]

虚功：

\[ \delta W =\sum_{i}^{} f_{i}\delta y_{i}+\int_{0}^{l} f(x,t)\delta y(x,t) \, {\rm d}x = \sum_{_{i}}^{} \left\{ f_{i} + \int_{0}^{l} f(x,t)\phi_{i} \, {\rm d}x \right\}\delta y_{i} \]

所以广义力

\[ Q_{i } =f_{i} + \int_{0}^{l} f(x,t)\phi_{i} \, {\rm d} x \]

Lagrange 方程给出梁振动方程

\[ {\bf M} \ddot{\mathbf{y}} + \mathbf{K}\mathbf{y} = \mathbf{Q} \]

\(\mathbf{Q}\equiv \left\{ Q_{i} \right\}\) 为广义力列阵。我们就可以求解 \(\mathbf{y}\) 进而给出梁振动的近似表达式。

加权残数法

对于一个弹性体振动问题，我们一般要求解两个函数：振型函数 \(\Phi(x)\) 以及时间函数 \(T(t)\) ，对于振型函数，我们一般需要求解以下方程

\[ \left[ E(x)A(x)\frac{{\rm{d}} ^{2} \Phi}{{\rm {d}} x^{2} } \right] -\omega^{2} \rho(x)A(x) \Phi = 0 \]

其中 \(\omega^{2}\) 表示频率。记将解带入方程后两端差为残数，显然对于精确解，残数应当为零。但是我们并不能总是给出精确解，考虑如下弱形式：

\[ \int_{0}^{l} \psi(x)R(\overset{ \sim }{ \Phi }(x)) \, {\rm d}x =0 \]

\[ R(\overset{ \sim }{ \Phi }(x),x) = \left[ E(x)A(x)\frac{{\rm{d}} ^{2} \overset{ \sim }{ \Phi }}{{\rm {d}} x^{2} } \right] -\omega^{2} \rho(x)A(x) \overset{ \sim }{ \Phi } \]

其中 \(\psi(x)\) 为已知权函数，也就是我们退而求其次，要求其关于所在区域的加权平均值为零。满足上述加权平均值关系的解 \(\overset{ \sim }{ \Phi }(x)\) 称为近似解。所以对于我们需要求解的近似振型函数：

\[ R(\overset{ \sim }{ \Phi }(x)) = \sum_{ i=1}^{n} \alpha_{i} \overset{ \sim }{ \varphi }_{i}(x) \]

一般而言， \(\overset{ \sim }{ \varphi }(x)\) 是我们设定的试函数（一般而言满足边界条件）。因此当我们设定好权函数 \(\psi(x)\) 后，我们的任务就剩下求解待定参数 \(\alpha_{i}\)。

对于 \(\psi(x)\) 我们一般有如下四种取法：

• 伽辽金法：权函数取为试函数，因此

\[ \int_{0}^{l} \overset{ \sim }{ \varphi }_{i}(x)R\left[ \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}\overset{ \sim }{ \varphi }_{j}(x) ,x\right] \, {\rm d} x =0 \]

• 配点法，也称并置法，取 \(n\) 个点 \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\) ，令残差在这些点上为零

\[ R\left[ \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}\overset{ \sim }{ \varphi }_{j}(x_{i}) ,x_{i}\right] =0 \]

显然取狄拉克函数 \(\delta(x-x_{i})\) 可为权函数。

• 子区域法：我们划分 \(n\) 个区域 \([l_{i-1},l_{i}]\) ，令残数在各个子区域的积分为零，即

\[ \int_{l_{i-1}}^{l_{i}}R\left[ \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}\overset{ \sim }{ \varphi }_{j}(x) ,x\right] \, {\rm d} x =0 \]

那么对应权函数满足

\[ \chi_{i} (x)= \left\{\begin{aligned} 1 & \quad x \in [l_{i-1},l_{i}]\\ 0& \quad \text{otherwise }\end{aligned}\right. \]

• 最小平方法：要求残数的平方值在全区间上的累积取最小值，以此确定权函数。即

\[ \int_{0}^{l} \frac{\partial R }{\partial \alpha_{i} } R\left[ \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j }\overset{ \sim }{ \varphi }_{j}(x),x \right] \, {\rm d}x =0 \]

传递矩阵法

考虑多刚体盘的圆截面扭转振动，取上述单元体，记转角 \(\theta\) 为广义位移，扭矩 \(M\) 为广义力。

圆盘两侧满足

\[ \begin{align} &\theta_{i}^{L} = \theta^{R}_{i} \\ &M^{R}_{i}-M^{L}_{i}= J_{i} \ddot{\theta}^{R}_{i} = -\omega^{2}J_{i}\theta_{i}^{R} \end{align} \]

\(J_{i}\) 为惯性矩，我们假定扭转运动为周期函数满足 \(\ddot{\theta_{i}} = -\omega^{2} \theta_{i},\omega\) 为频率，以矩阵形式写出就是

\[ \begin{Bmatrix} \theta_{i}^{R} \\ M_{i}^{R} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -\omega^{2} J_{i} & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \theta_{i}^{L} \\ M_{i}^{L} \end{Bmatrix} \]

对于弹性体，我们假定其惯性矩为零，则其运动满足

\[ M_{i}^{L} = M_{i-1}^{R}= k_{i}(\theta^{L}_{i}-\theta^{R}_{i-1}) \]

我们依旧给出矩阵形式

\[ \begin{Bmatrix} \theta_{i}^{L} \\ M_{i}^{L} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 1/k_{i} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \theta_{i-1}^{R} \\ M_{i-1}^{R} \end{Bmatrix} \]

所以可以得出

\[ \begin{Bmatrix} \theta_{i}^{R} \\ M_{i}^{R} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -\omega^{2} J_{i} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 1/k_{i} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \theta_{i-1}^{R} \\ M_{i-1}^{R} \end{Bmatrix}\triangleq S_{i}\begin{Bmatrix} \theta_{i-1}^{R} \\ M_{i-1}^{R} \end{Bmatrix} \]

因此叠加就可得到

\[ \begin{Bmatrix} \theta_{n}^{R} \\ M_{n}^{R} \end{Bmatrix}= S_{n}S_{n-1}\dots S_{1} \begin{Bmatrix} \theta_{0}^{R} \\ M_{0}^{R} \end{Bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \theta_{0}^{R} \\ M_{0}^{R} \end{Bmatrix} \]

为了求解固有频率，我们需要根据边界条件，定出矩阵中某一元素 \(s_{ij}\) 为零。