Nonlinearity

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非线性分析

非线性一般有以下三种来源：

1. 材料的非线性(Material nonlinearity)
2. 几何的非线性(Geometric nonlinearity)
3. 边界的非线性(Boundary nonlinearity)

在线性分析中，假定结果是线性的，也就是说，位移随载荷成比例的变化（小变形假设），但是在非线性分析中，这个结论就是失效了，刚度矩阵、载荷作用都和形状改变耦合在一起，因此，对于大变形而言，我们需要考虑形状的改变。在应力应变表达式中，也需要额外考虑非线性项，引起更为复杂的变形和更多的计算成本。

几何非线性是指当结构出现大变形时，其变化的几何形状可能会引起结构的非线性响应。一般包含以下几种情况：

• 大挠度或者转动（破坏小变形假设）
• 突然翻转
• 初始力或载荷硬化

材料的非线性源自于外加载荷超过一定程度后，材料进入屈服阶段，变形量与拉力呈现出比较复杂的响应关系，统称为非线性关系。

边界的非线性行为是因为边界条件的变化而引起模型结构刚度的变化，影响应力应变的求解过程。比较典型的是接触分析，由于接触对的建立和分离会对模型的结构刚度造成比较大的影响，甚至发生不收敛情况。除了接触外，边界非线性还包括非线性弹性弹簧、薄膜、辐射、多点约束等，每增加一个边界非线性行为，就会增加有限元的求解难度。

接触分析

接触冲击（Contact-impact）分析是一个比较复杂的非线性问题，在分析过程中，接触问题的响应一般是非线性的。对于冲击问题，冲击产生时，表面的法向速度和切向速度都是不连续的。

接触行为主要分成两种：法向接触和切向接触，法向接触产生了接触压力，切向接触贡献了摩擦力。

接触行为分为三种：

1. 自接触，物体被压缩过程中，内表面发生的接触，内表面即是主面也是从面。
2. 点面接触，例如球拍与网球的接触，球拍上的节点为从面，网球的表面为主面。
3. 面面接触，主从面都是由单元面构成。

主从面的定义原则：

1. 刚体必须作为主面
2. 刚度大的作为主面，刚度小的作为从面
3. 网格粗的作为主面，网格细的作为从面
4. 节点只能作为从面
5. 一个主面对应一个从面
6. 在壳单元的接触中，接触面的法向相对，同一个面的法向保持一致
7. 尽量不要将 T 型面作为主、从面，可以将其拆分为两个面分别定义接触。

摩擦力主要有两种模型：

• 库伦摩擦模型（Coulomb friction model）
• 界面本构模型（Interface constitutive equation）

库伦模型要求：

• 当切向力小于滑动摩擦 \(t_{T} < -\mu t_{N}\) ，产生黏附现象(adhered)
• 当切向力等于互动摩擦时，产生滑移现象(sliding)

滑移到黏附的变化使得切向速度突变到零，也导致了切向速度的不连续

Summary

如果材料经历了非常复杂的加载和卸载过程：

• 对于线性分析，可以很容易地找到给定应变（应力）值对应的应力（应变）值。
• 对于非线性分析，一个应变（应力）可能对应无限多个应力（应变）值。
• 在非线性分析中，必须使用增量方法来跟踪加载-卸载历史

残差

非线性问题中，外载和内力都变成复杂的函数：

\[ \begin{align} I = f(u,\varepsilon,\theta, \dots) \\ P=f(u,\theta,t, \dots) \end{align} \]

由于刚度的确定将变得复杂，且不再是一个常数，在求解该类问题时，一般采用增量法和弧长法，增量法考虑分段施加载荷（而不是一次性施加）,适用于大多场景，而弧长法适用于屈曲分析等机构刚度突然变化的常见。

定义残差：

\[ R= P-K(u)u \]

当残差小于一定范畴时，认为计算收敛。Newton-Raphson 的核心就是计算残差。

Newton-Raphson 方法本质上采用如下迭代公式：

\[ x_{n+1} = x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} \]

但是我们需要计算导数，在迭代过程中非常耗时间。而且算法存在一定不收敛的可能

Summary

• 对于大多数有限元，我们使用增量方法(Incremental method)来求解问题。在每一个增量步骤中，我们都需要进行迭代计算。
• 非线性分析非常耗时，一次非线性分析的计算量相当于几十、几百，甚至上千次线性分析。
• 此外，有的时候需要计算切线（斜率矩阵）。